کارا

متغیرها و مقیاس های آماری

مقیاس آماری

در آمار متغیرهای تصادفی، یک کمیت قابل اندازه گیری از پدیده های تصادفی است. این متغیرها را می توان از منظر ماهیتشان به متغیرهای کیفی و کمی تقسیم بندی کرد. متغیرهای کیفی، متغیرهایی است که حاصل از طبقه بندی یا گروهبندی جامعه مورد مطالعه هستند و براساس مقیاس های اسمی یا ترتیبی بیان می شوند و برای بیان مقادیر آن ها از نماد ها و کد ها استفاده می شود. متغیرهای کمی شامل متغیرهایی است که از طریق شمارش یا اندازه گیری کمیتی خاص حاصل می شود و براساس مقیاس فاصله ای یا نسبتی بیان می شوند.

انواع مقیاس ها در آمار

استیونز روانشناس امریکایی در سال ۱۹۴۶ چهار نوع مقیاس را معرفی کرده است، هر چند این نوع تقسیم بندی بارها به چالش کشیده شده است، ولی همچنان مبنای اصلی تقسیم بندی انواع مقیاس های آماری است. این چهار مقیاس عبارتند از اسمی، ترتیبی (یا رتبه ای)، فاصله ای و نسبی (یا نسبتی).

مقیاس اسمی (Nominal Scale):

به مقیاسی گفته می شود که برای بیان طبقات مختلف آن، از کدها و نمادها استفاده می شود و رابطه ترتیبی هم در بین مقادیر آن برقرار نیست. مانند مقیاسی که برای کمیت گروه خونی استفاده می شود (A, B, AB, O).

نکته: هر مقیاس اسمی را می توان با تبدیلی یک به یک، به مقیاس اسمی دیگر تبدیل کرد. مثلاً برای کمیت جنسیت می توان مقادیر MAN و WOMAN را به کدهای ۰ و ۱ تبدیل کرد.

نکته: در مقیاس های اسمی می توان برای مقداردهی از اعداد استفاده نمود. مثلاً گروه خونی را به ترتیب با عداد ۱ تا ۴ مشخص کرد ولی در این حالت باید توجه داشت که نقش کد را دارند و گروه خونی ۴ بزرگتر از گروه خونی ۳ نیست.

مقیاس ترتیبی(Ordinal Scale):

به مقیاسی گفته می شود که برای بیان طبقات مختلف از کدها و نمادها استفاده می شود و در عین حال رابطه ترتیبی هم در بین مجموعه مقادیر آن برقرار است. مانند طیف لیکرت (خیلی زیاد، زیاد، متوسط، کم، خیلی کم) یا مقیاس اندازه گیری بصری درد در بیماران (VAS).

 

مقیاس بصری درد

نکته: مقیاس ترتیبی را می توان با یک تبدیل یک به یک و اکیداً صعودی به مقیاس ترتیبی دیگر تبدیل کرد. مثلاً مقادیر طیف لیکرت ۵ تایی را می توان با اعداد ۱ تا ۵ نمایش داد.

مقیاس فاصله ای (Interval Scale):

مقیاس حقیقی مقدار است که نسبت دو تفاضل را حفظ می کند. به عنوان مثال اگر برای مجموعه ای از اعضای جامعه مثلاً A_1, A_2, A_3, A_4 مقادیر a_1, a_2, a_3, a_4 ثبت شده باشد، در این صورت اگر از مقیاس فا صله ای استفاده شده باشد، نسبت \frac{a4-a3}{a2-a1} همواره ثابت است و به واحد اندازه گیری بستگی ندارد.

مثلاً کمیت درجه حرارت را در نظر بگیرید،

تهران شیراز مشهد اصفهان  
۳۵ ۲۰ ۱۵ ۱۰ سانتی گراد
۹۵ ۶۸ ۵۹ ۵۰ فارنهایت

 

نسبت \frac{a4-a3}{a2-a1}  برای واحد اندازه گیری سانتی گراد برابر \frac{35-20}{15-10}=3 و برای واحد اندازه گیری فارنهایت نیز برابر است با \frac{95-68}{59-50}=3 پس نسبت تفاضل ها حفظ می شود و به واحد اندازه گیری بستگی ندارد.

 

مقیاس فاصله ای

 

نکته: در مقیاس های فاصله ای، صفر مفهومی قراردادی دارد و بسته به واحدهای اندازه گیری مختلف، ممکن است متفاوت باشد. مثلاً صفر درجه فارنهایت و صفر درجه سانتی گراد با هم متفاوت هستند.

نکته: اگر زمان و تاریخ را به یک عدد حقیقی تبدیل کنیم، کمیت حاصل براساس مقیاس فاصله ای است. مثلاً زمان را در نظر بگیریم که ساعت ۰۰:۰۰ نیمه شب به عنوان مبدا و صفر قراردادی باشد و زمان ها براساس یک عدد حقیقی بر حسب ساعت سپری شده از مبدا باشد. مثلاً ساعت ۰۱:۳۰ برابر با ۱.۵ و ساعت ۱۷:۴۵ برابر با ۱۷.۷۵ باشد (هر دقیقه یک شصتم ساعت یعنی هر ربع ساعت برابر با ۰.۲۵ است). در اینجا مثلاً ۱۷.۷۵ (معادل با ساعت ۱۷:۴۵) در دو شهر تهران و نیویورک یکسان نیست. این به دلیل تفاوت در مبدا زمان است که ناشی از تفاوت در مختصات جغرافیایی است.

نکته: در مقیاس های فاصله ای، یک واحد اندازه گیری خاص را می توان با تبدیل y=ax+b; a>0 به واحد دیگری تبدیل کرد. در اینجا b معادل صفر قراردای واحد اندازه گیری قدیم در واحد اندازه گیری جدید است. مثلاً واحد سانتی گراد را با تبدیل F=\frac{9}{5} C+32 می توان به واحد فارنهایت تبدیل کرد.

کمیت آماری - مقیاس فاصله ای

مقیاس نسبتی (Ratio Scale):

مقیاسی است حقیقی مقدار که نسبت را حفظ می کند. به عبارت دیگر نسبت مقدار اندازه گیری شده برای دو عضو دلخواه از جامعه همیشه ثابت است و به واحد اندازه گیری بستگی ندارد. به عنوان مثال طول، جرم و … . مثلاً در نظر بگیرید اگر وزن دو شیء به ترتیب ۱۰ و ۵ کیلوگرم باشد، نسبت وزن این دو شی به کیلوگرم برابر ۲ است و این نسبت برای دیگر واحدهای اندازه گیری نیز حفظ می شود. به عنوان مثال نسبت وزن این دو شی به گرم ۱۰ هزار به ۵ هزار است و برابر با ۲ است.

نکته: در مقیاس های نسبتی، صفر مفهومی مطلق دارد. صفر کیلوگرم برابر با صفر گرم و برابر با صفر میلی گرم است.

نکته: در مقیاس های نسبتی یک واحد خاص را می توان  با تبدیل y=ax; a>0 به واحد دیگری تبدیل کرد. مثلاً کیلوگرم را با استفاده از تبدیل g=1000Kg میتوان به واحد گرم تبدیل کرد.

نکته: هر مقیاس نسبتی خود یک مقیاس فاصله ای است (b=0).

نکته: در مقیاس نسبتی، نسبت مقدار دو کمیت بامعنا است ولی در مقیاس فاصله ای لزوماً چنین نیست. مثلاً این جمله “وزن علی دو برابر وزن حسن است” با معنی است ولی این جمله “ساعت ۱۰ دو برابر ساعت ۵ است” بی معنی است. در مقیاس فاصله ای درست این است که نسبت تفاضل بررسی شود. مثلاً نسبت تفاضل زمان شروع یک کار با زمان اتمام آن توسط علی به تفاضل زمان شروع و اتمام کار توسط حسن. به عنوان مثال دیگر، اگر دمای هوای شیراز ۲۰ درجه سانتی گراد و دمای هوای اصفهان ۱۰ درجه سانتی گراد باشد، نمی توانیم بگوییم دمای هوای شیراز دو برابر دمای هوای اصفهان است زیرا نسبت این دو کمیت برحسب سانتیگراد ۲ و برحسب فارنهایت ۱.۳۶ است ولی اگر دمای هوای شیراز در دو روز متوالی ۲۰ و ۲۲ درجه سانتیگراد باشد و دمای اصفهان نیز در دو روز متوالی ۱۰ و ۱۱ درجه سانتیگراد باشد، در این صورت می توان گفت که افزایش دمای شیراز نسبت به افزایش دما در اصفهان دو برابر بوده است. به عبارت دیگر نسبت تفاضل های دما در دو روز متوالی دو بوده است و این گزاره با هر واحد اندازه گیری صادق است.

نکته: روش های تحلیل آماری به دو دسته کلی پارامتری و ناپارامتری تقسیم می شوند که روش های پارامتری بیشتر برای متغیرهایی با مقیاس های فاصله ای یا نسبتی (متغیر کمی) و روش های ناپارامتری بیشتر برای متغیرهای با مقیاس اسمی و ترتیبی (متغیر کیفی) استفاده  می شوند.

نکته: در مقیاس نسبتی برخلاف مقیاس فاصله ای، می توان چهار عمل اصلی حساب را بر روی داده ها اعمال نمود. مثلاً  ۲ جعبه داشته باشیم که وزن هر جعبه ۴ کیلوگرم باشد می توان گفت که وزن کل جعبه ها ۲ ضرب در ۴ یا ۴ + ۴ یعنی ۸ کیلوگرم است ولی اگر دو شهر داشته باشیم که دمای یکی از این ها ۳۰ و دمای دیگری ۳۵ درجه سانتیگراد باشد، انجام عمل های جمع و ضرب روی دمای این شهرها مفهومی دارد؟ مثلاً می توان گفت دمای کل دو شهر، ۳۵ + ۳۰ = ۶۵ است؟ پس لزوماً انجام عمل های اصلی حساب بر روی مقیاس های فاصله ای معنادار نیست هر چند گاهی ممکن است معنادار و قابل تفسیر باشد. مثلاً میانگین دمای چند شهر از انجام عمل های جمع و تقسیم به دست می آید که عدد به دست آمده قابل تفسیر است.